Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁和B₁C₁的中点．
（1）求二面角B₁-BF-E的大小．
（2）求点D到平面BEF的距离．
（3）能否在棱B₁B上找到一点M，使DM⊥面BEF？若能，请确定点M的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过B₁作B₁G⊥BF于G，连接EG，则由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．即∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．解三角形B₁GE即可得到二面角B₁-BF-E的大小；
（2）连接B₁D₁与EF交于N，可得面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF．即DH的长即为点D到面BEF的距离．根据△BDH∽△NBB₁，结合相似三角形的性质，我们根据相似三角形对应边成比例，即可求出点D到平面BEF的距离．
（3）在平面BB₁D₁D中，延长DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，则DM⊥面BEF．然后根据△BDM∽△B₁BN，结合相似三角形对应边长成比例，易得到结论．

解答：解：（1）过B₁作B₁G⊥BF于G，连接EG，
则由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF．
∴∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角．
在Rt△BB₁F中，B₁B=a，B₁F=

a

2

，
∴BF=

B1B2+B1F2

=

5

2

a，
B₁G=

B1B•B1F

BF

=

a× a 2

5 2 a

=

5

5

a．
在Rt△B₁GE中，B₁E=

a

2

，B₁G=

5

5

a，
∴tan∠B₁GE=

B1E

B1G

=

a 2

5 5 a

=

5

2

．
∴∠B₁GE=arctan

5

2

．
故二面角B₁-BF-E的大小为arctan

5

2

．
（2）连接B₁D₁与EF交于N，
则EF⊥B₁D₁．又BB₁⊥EF，
∴EF⊥面BB₁D₁D．又EF?面BEF，
∴面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN．
过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF．
∴DH的长即为点D到面BEF的距离．
在矩形BB₁D₁D中，
易证△BDH∽△NBB₁，
∴

DH

BB1

=

DB

BN

，DH=

BB1•DB

BN

=

a× 2 a

3 2 4 a

=

4

3

a．
故点D到面BEF的距离为

4

3

a．
（3）在平面BB₁D₁D中，延长DH交BB₁于M，由（2），DH⊥面BEF，
∴DM⊥面BEF．
由△BDM∽△B₁BN，有

BM

B1N

=

BD

BB1

，
∴BM=

BD•B1N

BB1

=

2 a× 2 4 a

a

=

a

2

．
则M为BB₁的中点．
故在棱BB₁上可找到点M，使DM⊥面BEF，此时M为BB₁的中点．

点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角，通过解∠B₁GE所在的三角形求得∠B₁GE．其解题过程为：作∠B₁GE→证∠B₁GE是二面角的平面角→计算∠B₁GE，简记为“作、证、算”．