Question

17．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，2015]上具有性质 P．现给出如下命题：
①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数；
②若f（1008）=1008，则f（x）+f（2016-x）≥2016；
③对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]；
④函数f（x）在[1，$\sqrt{2015}$]上具有性质P．
其中真命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 若f（x）在[a，b]上具有性质P，则函数（x）在[a，b]上不是凸函数，进而分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：若f（x）在[a，b]上具有性质P，则函数（x）在[a，b]上不是凸函数，
故：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数，错误；
②若f（1008）=1008，则$\frac{1}{2}$[f（x）+f（2016-x）]≥f（1008）=1008，即f（x）+f（2016-x）≥2016，正确；
③对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，2015]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，正确；
④[1，$\sqrt{2015}$]⊆[1，2015]，故函数f（x）在[1，$\sqrt{2015}$]上一定具有性质P．
故真命题的序号为：②③④，
故答案为：②③④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的凸凹性，正确理解性质P的含义，是解答的关键，难度中档．