题目内容
【题目】已知四棱柱
的所有棱长都为2，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成的角
的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）要证平面
平面
，转化为证明
平面
，通过证明
及
可得；
（2）连接
，由（1）可得
为直线
与平面所成的角
，在
中求角的正弦值.另外可以用向量法求线面角.
（1）证明：设
与
的交点为
，连接
，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
又因为是的中点，所以，
另由且
，
所以平面，
而
平面，所以平面平面.
（2）（法一）连接，由（1）知平面，
所以为直线与平面所成的角，
在菱形
中，
，
故
，
所以
又因为
，所以
，
所以
.
（法二）过作直线
平面
，分别以
、
、
为
、
、
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
依题意，得
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面的法向量为
，
所以
，令
，则
，即
，
所以
，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
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