Question

【题目】如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）直线与平面所成角的正弦值为

【解析】

证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.

因为为的中点，为的中点,

所以∥且.又是中点，

所以∥且,

所以∥且.

所以，四边形为平行四边形.所以∥.

又平面,平面,则∥平面.

(Ⅱ)因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.

所以平面.

因为平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因为侧面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.

（Ⅲ）解: 取中点，连接.

在三棱柱中，因为平面，

所以侧面底面.

因为底面是正三角形，且是中点，

所以，所以侧面.

所以是在平面上的射影.

所以是与平面所成角.

.