Question

在△ABC中，化简sin²

A

2

+sin²

B

2

+sin²

C

2

+2sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

=

 

．

Answer 1

分析：利用降幂公式将sin²

A

2

+sin²

B

2

+sin²

C

2

化简得：

1-cosA

2

+

1-cosB

2

+

1-cosC

2

=

3-(cosA+cosB+cosC )

2

在根据在△ABC中，有恒等式：cosA+cosB+cosC=1+4sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）的结论即可求解

解答：解：在△ABC中，有恒等式：cosA+cosB+cosC=1+4sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）
∴原式=

1-cosA

2

+

1-cosB

2

+

1-cosC

2

+2sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）
=

3

2

-

cosA+cosB+cosC

2

+2sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）
=

3

2

-

1+4sin( A 2 )sin( B 2 )sin( C 2 )

2

+2sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）=1
下面给出恒等式：cosA+cosB+cosC=1+4sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）的证明． 
cosA+cosB+cosC=（cosA+cosB）+cos（π-A-B）
=2cos[（

A+B

2

]cos[

A-B

2

]-cos（A+B）
=2cos（

A+B

2

）cos（

A-B

2

）+1-2(cos(

A+B

2

))2
=1+2cos（

A+B

2

）cos（

A-B

2

）-2(cos(

A+B

2

))2
=1+2sin（

π-A-B

2

）[2sin（

A

2

）sin（

B

2

）]
=1+2sin（

C

2

）[2sin（

A

2

）sin（

B

2

）]
=1+4sin（

A

2

）sin（

B

2

）sin（

C

2

）

点评：本题考查了半角的三角函数，另外在三角形的中三角恒等式结论也很关键，属于基础题．