Question

已知函数，若同时满足条件：

①∃x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点；

②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．

则实数a的取值范围是（　　）

A．

（4，8]

B．

[8，+∞）

C．

（﹣∞，0）∪[8，+∞）

D．

（﹣∞，0）∪（4，8]

Answer 1

考点：

函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

专题：

导数的综合应用．

分析：

求导数，由①得到；

由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．

解答：

解：由于，则=

令f′（x）=0，则，

故函数f（x）在（﹣∞，x₁），（x₂，+∞）上递增，在（x₁，x₂）上递减

由于∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，

当x₂＞8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，此时无解；

当x₂≤8，即时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为，解得a≤8．

又由∃x₀∈（0，+∞），x₀为f（x）的一个极大值点，故解得a＞4；

故实数a的取值范围为4＜a≤8

故答案为 A

点评：

本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．