Question

已知f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）写出函数f（x）的递增区间和递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得

3+x＞0 3-x＞0

解不等式可得函数的定义域
f（x）=log₃（3+x）（3-x），令t=（3+x）（3-x）=-x²+9∈（0，9]，从而可得函数的值域
（2）结合（1）的定义域，计算可得f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），从而可得函数为偶函数
（3）t=-x²+9在（-3，0]上单调递增，[0，3）上单调递减，函数y=log₃t在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）

解答：解：（1）根据题意可得

3+x＞0 3-x＞0

，解不等式可得-3＜x＜3
∴定义域为（-3，3）
f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（-x²+9）
令t═-x²+9，则t∈（0，9]，f（x）∈（-∞，2]
∴值域为（-∞，2]．
（2）∵定义域为（-3，3）关于原点对称
∵f（-x）=log₃（3-x）+log₃（3+x）=f（x），
所以函数f（x）为偶函数．
（3）∵t=9-x²在（-3，0]上单调递增．在（0，3]上单调递减
∵函数y=log₃t在（0，+∞）单调递增
根据复合函数的单调性可得函数f（x）的单调增区间（-3，0]，单调减区间[0，3）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，复合函数的值域的求解，函数奇偶性的判断，复合函数的单调性的判断，综合运用了函数的性质．