Question

已知数列{a_n}中，，设．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中，利用代入法，易求出数列{a_n}的前三项，再由，可以求出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）由已知中，．我们易得到b_n是以为首项，以2为公比的等比数列，再结合．我们易得到数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）根据（II）的结论，我们可得到{a_n}的前n项和为S_n的表达式，利用放缩法，即可证明．
解答：解：（Ⅰ）由，得，．
由，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．
（Ⅱ）证明：因，
故．
显然，因此数列b_n是以为首项，以2为公比的等比数列，
即b_n=．
解得．
（Ⅲ）因为=，
所以；

又=（当且仅当n=1时取等号），故．
综上可得．
点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，数列与不等式的综合应用，是数列问题中难度较大的问题，其中不等式解法中的放缩法，数列的递推公式，在属于新课标高考考试要求范围．