Question

已知

a

=（sinA，cosA），

b

=（cosC，sinC），若

3

a

•

b

=sin2B，

a

，

b

的夹角为θ，且A、B、C为三角形ABC的内角．
求（1）∠B　　　　　　
（2）cos

θ

2

．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算可得

a

•

b

，再利用三角形的内角和定理、倍角公式、诱导公式即可得出；
（2）利用平方公式、向量的夹角公式、特殊角的三角函数值即可得出．

解答：解：（1）

a

•

b

=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sin（π-B）=sinB．
∵

3

a

•

b

=sin2B，
∴

3

sinB=2sinBcosB，
∵sinB≠0，
∴cosB=

3

2

．
∵B∈（0，π），
∴B=

π

6

．
（2）∵|

a

|=

sin2A+cos2A

=1，|

b

|=

cos2C+sin2C

=1．
∴cosθ=

a • b

| a | | b |

=

sinB

1×1

=

1

2

，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=

π

3

．
∴cos

θ

2

=cos

π

6

=

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算、三角形的内角和定理、倍角公式、诱导公式、平方公式、向量的夹角公式、特殊角的三角函数值等基础知识与基本技能方法，属于中档题．