Question

（2010•眉山一模）已知A、B、C为三个锐角，且A+B+C=π，若向量

p

=(2sinA-2，cosA+sinA)与向量

q

=(cosA-sinA，1+sinA)是共线向量．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y=2sin2B+cos

C-3B

2

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知

p

 与

q

共线，利用向量共线的条件及A为锐角整理可得，sinA=

3

2

，从而可求角A的值．
（2）结合（1）中的条件可把所求函数式化简得，y=sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

+1，利用辅助角公式可得y=
sin2B-

π

6

）+1，结合题中锐角三角形的条件可求B的范围，进而求出函数的值域，从而得到函数的最大值．

解答：解：（1）∵

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)  ，

q

=（sinA-cosA，1+sinA），且

m

与

n

共线，
可得（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0，化简可得sinA=±

3

2

．
又△ABC是锐角三角形，∴sinA=

3

2

即A=

π

3

．
（2）由A=

π

3

得B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+cos

π

3

cos2B+sin

π

3

sin2B
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=sin(2B-

π

6

)+1，
∵

π

2

-A＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜2B＜π，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1．故

3

2

 ＜sin(2B-

π

6

)+1≤2．
因此函数y=2sin²B+cos

C-2B

2

的值域为（

3

2

，2]，故函数y的最大值等于2．

点评：本题主要考查了向量平行的坐标表示，特殊角的三角函数值，两角和差的三角角公式的运用，正弦函数的值域的求解等知识，综合的知识较多，但都是基本方法的考查，要求考生具备扎实的基本功，熟练运用知识．