Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项和，a₁,2a₇,3a₄成等差数列.

(Ⅰ) 证明12S₃,S₆,S₁₂-S₆成等比数列;

(Ⅱ)求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2.

Answer 1

 (Ⅰ)证明:由a₁,2a₇,3a₄成等差数列.得4a₇=a₁+3a₄,即4aq⁶=a+3aq³.变形得(4q³+1)(q³-1)=0,所以q³=-或q³=1(舍去)由

==1+q⁶-1=q⁶=,

得=.所以12S₃,S₆,S₁₂-S₆成等比数列.

(Ⅱ)解法

:T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na3_a-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3(n-2),

即T_n=a+2·(-)a+3·(-)²a+…+n·(-)^n-1a.    ①

①×(-)³a得:-T_n=-a+2·(-)²a+3·(-)³a+…+n·(-)ⁿa     ②

①-②有：T_n=a+(-)a+(-)²a+(-)³a+…(-)^n-1a-n·(-)na=-n·(-)ⁿa=a-(+n)·(-)ⁿa.所以T_n=·(-)ⁿa.