Question

20．如图，两圆相交于A，B两点，P为BA延长线上任意一点，从P引两圆的割线PCD，PFE．
（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）若PF=EF，CD=2PC，求PD与PE的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△PCF∽△PED，得出∠D=∠PEC，即可证明：C，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）利用PF=EF，CD=2PC，PC•PD=PF•PE，得出3PC²=2PF²，即可求PD与PE的比值．

解答 （Ⅰ）证明：连接DE，CF，则
由割线定理得PA•PB=PC•PD=PF•PE，
∴$\frac{PC}{PF}=\frac{PE}{PD}$，
∵∠FPC=∠DPE，
∴△PCF∽△PED，
∴∠D=∠PEC，
∴C，D，E，F四点共圆；
（Ⅱ）解：∵PF=EF，CD=2PC，PC•PD=PF•PE，
∴3PC²=2PF²，
∴PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$PF，PD=3PC=$\sqrt{6}$PF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$PE，
∴PD与PE的比值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查四点共圆的证明，考查割线定理的运用，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．