Question

12．若不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2对任意实数x都成立，则实数a的取值范围为$[-\frac{1}{2}，0]$．

Answer 1

分析 |x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，利用一次函数的单调性可得最小值为：2．不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2转化为：2≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，解出即可得出．

解答 解：∵|x-1|+|2x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{x+3，-1＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，可得最小值为：2．
∴不等式|x-1|+|2x+2|≥a²+$\frac{1}{2}$a+2转化为：2≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，解得$-\frac{1}{2}≤a≤0$．
∴实数a的取值范围是$[-\frac{1}{2}，0]$．
故答案为：$[-\frac{1}{2}，0]$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．