题目内容
某化工厂打算投入一条新的生产线生产某种化工产品，但需要经过环保部门审批同意后方可投入生产．已知该生产线连续生产n个月的累积产量为f(n)=| 1 |
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（Ⅰ）请你代表环保部门给该生产线拟定一个最长的生产周期；
（Ⅱ）按环保管理条例，该生产线每月需要缴纳a万元的环保费．已知这种化工产品每吨的售价为0.6万元，第n个月的生产成本为g(n)=
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分析：（1）先化简得到第n个月的产量函数，再令 f(n)-f(n-1)≤96，解得：-
≤n≤6
（2）建立利润函数F(n)=
(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，则F（n）＞0恒成立，求得a的范围．
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（2）建立利润函数F(n)=
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解答：解：（Ⅰ）设第n个月的产量为an吨，则a1=f（1）=1．（1分）
当n≥2时，an=f（n）-f（n-1）=3n2-2n．（3分）
又a1=1满足上式，所以an=3n2-2n（n∈N*）．（4分）
令3n2-2n-96≤0，得-
≤n≤6．又n∈N*，则n=1，2，3，4，5，6．
故最长生产周期是6个月．（6分）
（Ⅱ）由
(3n2-2n)-(
n2-
n-1)-a＞0，得a＜
n2-
n+1．（8分）
设φ(n)=
n2-
n+1，据题意，当n=1，2，3，4，5，6时，a＜φ（n）恒成立，则a＜φ（n）min．
因为φ(n)=
n2-
n+1=
(n-2)2+
，则当n=2时，φ(n)min=
．（12分）
故当环保费用a∈(0，
)时，该生产线在最长的生产周期内每月都有盈利．（13分）
当n≥2时，an=f（n）-f（n-1）=3n2-2n．（3分）
又a1=1满足上式，所以an=3n2-2n（n∈N*）．（4分）
令3n2-2n-96≤0，得-
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故最长生产周期是6个月．（6分）
（Ⅱ）由
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设φ(n)=
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因为φ(n)=
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故当环保费用a∈(0，
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点评：本题主要考查函数的实际应用，建模和解模的能力．
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