Question

在如图所示的四面体中，两两互相垂直，且.

   （Ⅰ）求证：平面平面；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）若直线与平面所成的角为，求线段的长度.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）证明: ，平面

       又平面，平面平面

   （Ⅱ），平面.

       是二面角的平面角.

       在中,，.

       二面角的大小为.

   （Ⅲ）过点B作，垂足为,连结.

       平面平面，平面，

       为与平面所成的角

.在中,，.

又在中,，，

       在中,.

       解法二：（Ⅰ）同解法一.

   （Ⅱ）设,建立如图所示的空间直角坐标系

       则，，,， ,

平面的法向量.

       设平面的一个法向量为n ，

        n ， n ，=0,

       取，则， n .

        n ，

       二面角的大小为.

   （Ⅲ），，.

       设平面的一个法向量是m ，则m ，

       m

       令，则m，直线与平面所成角为，

       m，∴=1.