Question

已知数列，满足
（I）求证：数列均为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

（I）详见试题解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见试题解析；．

试题分析：（I）将已知式变形成从而得都是等比数列；（Ⅱ）由（I）都是等比数列，可得消去即得数列的通项公式；（Ⅲ）故因而只要证利用错位相减法求和：．最后利用放缩法证明不等式．
试题解析：（I）证明：即是首项为公比为的等比数列．                                    2分
又是首项为公比为的等比数列．                                          4分
（Ⅱ）解：由（I）知故       8分
（Ⅲ）证明：故           9分
则
设．

                           12分
故．                                13分