Question

已知α、β都是锐角，且sinβsinα=cos(α+β).

（1）求证：tanβ=；

（2）当tanβ取最大值时，求tan(α+β)的值.

Answer 1

（1）证明：由已知得?

sinβ=sinαcos(α+β)=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，                                        ?

∴tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ.                                                                         ?

∴tanβ===,即tanβ=.  ?

（2）解：∵α是锐角，∴tanα＞0.?

由（1）知tanβ=，?

∴=≤=,当且仅当=2tanα时，等号成立，

即tanα=时，tanβ取最大值.                                                                ?

此时tan(α+β)===.