Question

20．设全集I是以R为定义域的所有幂函数的集合，A={f（x）|f（x）∈I，f（x）是奇函数}，B={f（x）|f（x）∈I，f（x）是增函数}，C={f（x）|f（x）∈I，f（x）的图象过原点}，试说明：A∩C=B．

Answer 1

分析 由题意，可设y=f（x）=${x}^{\frac{m}{n}}$，m，n为互质的正奇数，根据幂函数的图象和性质，以及集合的运算关系即可证明．

解答 解：A={y=${x}^{\frac{m}{n}}$|m，n为互质的正奇数}；B={y=${x}^{\frac{m}{n}}$|m，n为互质的正奇数}；C={y=${x}^{\frac{m}{n}}$|m为正整数，n为正奇数，且m，n互质}；
因为定义域为R，则奇函数图象必定过原点；
所以A是C的子集；
所以A∩C=A；
显然A=B；
所以命题得证．

点评 本题考查了幂函数的图象和性质，以及集合的基本运算，属于基础题．