Question

【题目】已知函数

若曲线在点 处的切线与直线 垂直，求实数的值；

（Ⅱ）讨论函数 的单调性；

（Ⅲ）当 时，记函数 的最小值为 ，求证：；

Answer 1

【答案】(1) 或.

(2) 时, 在上单调递增，在上单调递减; 当时, 在上单调递增，在上单调递减.

(3)证明见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）求出，根据可求得实数的值；（Ⅱ）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，函数的最小值，故，利用导数研究函数的单调性，可得当时，，从而可得结果.

详解：（Ⅰ）由已知可知的定义域为，

根据题意可得，

或

（Ⅱ）

①时，由可得

由可得

在上单调递增，在上单调递减

②当时，

由可得

由可得

在上单调递增，在上单调递减

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，函数的最小值

故

则

令可得

当变化时，的变化情况如表：

	-	0	-
	增	极大值	减

是在上的唯一的极大值，从而是的最大值点，

当时，

时，