题目内容

已知P是双曲线 $数学公式$ 上一点，F₁、F₂是左右焦点，△P F₁F₂的三边长成等差数列，且∠F₁PF₂=120°，则双曲线的离心率等于________．

$\text{[math]}$
分析：由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列得出方程|PF₁|-|PF₂|=4与2|PF₁|=|PF₂|+2c，由此两方程可解出|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8，再由∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理建立关于c的方程，解出c的值，即可由公式求出离心率的值．
解答：

解：由题，不妨令点P在右支上，如图，则有
|PF₁|-|PF₂|=4 ①
2|PF₁|=|PF₂|+2c ②
由①②解得|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8
又∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理得
4c²=（2c-4）²+（2c-8）²+（2c-4）×（2c-8）
解得，c=7或c=2（舍）
又a=2，故e= $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考查双曲线的简单性质及等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握基础知识且能灵活选用基础知识建立方程求参数，本题考查了方程的思想及转化的思想