题目内容

已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为d₁，d₂，则d₁+d₂的最大值为________．

无（或是一道错题）
分析：先设对角线互相垂直的四边形两对角线分别为a，b，利用圆的性质得出圆心到两对角线的距离分别为d₁，d₂，得出d₁+d₂的函数表达式，再根据隐含条件求出此函数的定义域，画出其图象，利用函数的图象研究它的最大值．
解答：

解：设两对角线分别为a，b．如图．
d₁= $\text{[math]}$
d₂= $\text{[math]}$ ，
四边形面积为5= $\text{[math]}$ ab，
∴ab=10．
∴得d₁+d₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
又对角线a、b的交点应在圆内，即d₁²+d₂²=OP²＜r²=3²，
代入d₁= $\text{[math]}$ ，d₂= $\text{[math]}$ ，ab=10．全部化为同一个变量a即为（9- $\text{[math]}$ a²）+（9- $\text{[math]}$ ）＜9，
解得a²∈（-∞，18-4 $\text{[math]}$ ）∪（18+4 $\text{[math]}$ ，+∞），
又对角线a＞0，即得a∈（0， $\text{[math]}$ -2）∪（ $\text{[math]}$ +2，+∞），
与函数自身的定义域[ $\text{[math]}$ ，6]，取交集后得a的取值范围，
即函数符合题意的实际定义域为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ -2）∪（ $\text{[math]}$ +2，6]．
作出函数y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （a∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ -2）∪（ $\text{[math]}$ +2，6]）的图象，如图．

从图中可以看出，当a→ $\text{[math]}$ -2，或a→ $\text{[math]}$ +2时，y= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 取得极大值 $\text{[math]}$ ．
故d₁+d₂的取值范围为[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），右端为开区间，无最大值．
故答案为：无（或是一道错题）．
点评：本题想考查进行简单的演绎推理，考查圆的性质，可惜在于没有注意到题中隐含的条件导致错误，属于错题．