Question

已知对角线互相垂直且面积为5的四边形，其顶点都在半径为3的圆上，设圆心到两对角线的距离分别为d₁，d₂，则d₁+d₂的最大值为

无（或是一道错题）

．

Answer 1

分析：先设对角线互相垂直的四边形两对角线分别为a，b，利用圆的性质得出圆心到两对角线的距离分别为d₁，d₂，得出d₁+d₂的函数表达式，再根据隐含条件求出此函数的定义域，画出其图象，利用函数的图象研究它的最大值．

解答：解：设两对角线分别为a，b．如图．
d₁=

32- a2 4

d₂=

32- b2 4

，
四边形面积为5=

1

2

ab，
∴ab=10．
∴得d₁+d₂=

32- a2 4

+

32- 25 a2

，
又对角线a、b的交点应在圆内，即d₁²+d₂²=OP²＜r²=3²，
代入d₁=

32- a2 4

，d₂=

32- b2 4

，ab=10．全部化为同一个变量a即为（9-

1

4

a²）+（9-

25

a2

）＜9，
解得a²∈（-∞，18-4

14

）∪（18+4

14

，+∞），
又对角线a＞0，即得a∈（0，

14

-2）∪（

14

+2，+∞），
与函数自身的定义域[

5

3

，6]，取交集后得a的取值范围，
即函数符合题意的实际定义域为[

5

3

，

14

-2）∪（

14

+2，6]．
作出函数y=

32- a2 4

+

32- 25 a2

（a∈[

5

3

，

14

-2）∪（

14

+2，6]）的图象，如图．
从图中可以看出，当a→

14

-2，或a→

14

+2时，y=

32- a2 4

+

32- 25 a2

取得极大值

14

．
故d₁+d₂的取值范围为[

299

6

，

14

），右端为开区间，无最大值．
故答案为：无（或是一道错题）．

点评：本题想考查进行简单的演绎推理，考查圆的性质，可惜在于没有注意到题中隐含的条件导致错误，属于错题．