Question

已知函数
（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）方程内有两个不等的实根，可转化为函数的图象与 有两个不同的交点，可以利用导数研究函数在 上的单调性与极值并结合边界值来确定实数m的取值范围；
（2）由函数的图象与x轴交于两点、知方程 
有两根    
因为 ,
所以   
 
 
只需证明：在上恒成立即可.
试题解析：（1）由，
求导数得到：
，故在有唯一的极值点
，且知
故上有两个不等实根需满足：

故所求m的取值范围为.                             （6分）
（2）又有两个实根
则
两式相减得到：
于是


，故
要证：，只需证：
只需证：
令，则
只需证明：在上恒成立.
又则
于是由可知.故知
上为增函数，则
从而可知，即（*）式成立，从而原不等式得证.         （14分）