Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）
（1）求证数列{a_n}为等差数列，并写出通项公式．
（2）是否存在自然数n，使S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$=400？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在非零常数p，q，使数列{$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$}是等差数列？若存在，求出p，q应满足的关系式；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等差数列的定义即可证明；
（2）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（3）假设存在非零常数p，q，使数列{$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$}是等差数列，可得$\frac{2{S}_{2}}{2p+q}$=$\frac{{S}_{1}}{p+q}+$$\frac{{S}_{3}}{3p+q}$，化为p+2q=0，（q≠0）．此时$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$=$-\frac{n}{q}$，只要取q≠0，即为等差数列．

解答 （1）证明：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-2n（n-1）-（n-1）a_n-1+2（n-1）（n-2），化为a_n-a_n-1=4，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为4．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（2）解：由（1）可得：S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1）．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1．
∴S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+3+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
假设存在自然数n，使S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$=400，则n²=400，解得n=20．
因此存在n=20满足条件．
（3）解：假设存在非零常数p，q，使数列{$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$}是等差数列，
则$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{pn+q}$，
∵$\frac{2{S}_{2}}{2p+q}$=$\frac{{S}_{1}}{p+q}+$$\frac{{S}_{3}}{3p+q}$，
∴$\frac{2×6}{2p+q}$=$\frac{1}{p+q}$+$\frac{15}{3p+q}$，
化为p+2q=0，（p≠0）．
此时$\frac{{S}_{n}}{pn+q}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{pn+q}$=$\frac{n（2n-1）}{-q（2n-1）}$=$-\frac{n}{q}$（q≠0），为等差数列，首项为-$\frac{1}{q}$，公差为-$\frac{1}{q}$（q≠0）．
其中p与q满足关系式：p+2q=0．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．