Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；  
（2）判断f（x）的单调性．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可得定义域为（-1，1），由对数的运算可得f（-x）=-f（x），可得结论；  
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，作出由对数的运算可得f（x₁）-f（x₂）＞lg1=0，可得单调性．

解答： 解：（1）由题意可得

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）=lg

1-x

1+x

的定义域为（-1，1），
又∵f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）奇函数；  
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=lg

1+x1

1-x1

-lg

1+x2

1-x2

=lg

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

＞lg1=0
∴f（x）在（-1，1）单调递减．

点评：本题考查对数函数的单调性和奇偶性，属基础题．