题目内容
【题目】如图，在锐角
中，垂心
关于边
、
、
的对称点分别为
、
、
，关于边、、的中点
、
、
的对称点分别为
、
、
.证明：
（1）、、、、、六点共圆；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
证明：（1）如图，作
的外接圆
.
下面证明：
、
、
、
、
、
均在上.
由为的垂心
关于边
的对称点，则
.
故
.
因为
是
的对顶角，且
，
所以四边形
中，
.
这表明，点
、
、、
同在上.
类似地，点、也在上.
再由点为关于边在中点
的对称点，则
.
又
，得四边形
为平行四边形.
从而，
.
易知，.
故
.
因此，点在上.
类似地，点、也在上.
（2）由
，
，得
.
因此，
为的一条直径，即为点关于
的对称点.
类似地，为点关于的对称点，为点关于的对称点.
故
，
，
.
（3）由
为
的中位线知
，
.
类似地，
，
；
，
.
则
，
因此
，相似比为
.
从而，
.
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