题目内容
【题目】已知中心在坐标原点
，一个焦点为
的椭圆被直线
截得的弦的中点的横坐标为
.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线
与椭圆交于
两点，且以
为对角线的菱形的一个顶点为
，求
面积的最大值及此时直线
的方程.
【答案】（1）
（2）最大值1， 
【解析】【试题分析】（1）依题意可知
，得到
，设出
两点的坐标，利用点差法可得到
的另一个关系式
，由此求得
的值.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去
写出韦达定理，利用菱形和椭圆的弦长公式，求得
面积的表达式，在利用二次函数最值来求得面积的最大值.
【试题解析】
（1）设所求椭圆方程为
，由题意知
，①
设直线与椭圆的两个交点为
，弦
的中点为
，
由
，两式相减得：
，
两边同除以
，得
，即
.
因为椭圆被直线
截得的弦的中点
的横坐标为
，所以
，
所以
， 
，所以
，即
，②
由①②可得
，
所以所求椭圆的方程为
.
（2）设
, 
的中点为
，
联立
，消
可得： 
，
此时
，即
①
又
，
，
为对角线的菱形的一顶点为
，由题意可知
,即
整理可得： 
②
由①②可得
，
，
设
到直线
的距离为
，则
，
当
的面积取最大值1，此时
∴直线方程为
.
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