Question

已知曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，且x=

2

3

是y=f（x）的极值点，则a-b=

10

．

Answer 1

分析：由f（x）=alnx+bx+1，求出f′(x)=

a

x

+b，再利用切线的斜率和极值点列出方程组，求出a，b，从而得到a-b的值．

解答：解：∵f（x）=alnx+bx+1，
∴f′(x)=

a

x

+b，
∵曲线f（x）=alnx+bx+1在点（1，f（1））处的切线斜率为-2，
∴f′（1）=a+b=-2，①
∵x=

2

3

是y=f（x）的极值点，
∴f′(

2

3

)=

3

2

a+b=0，②
由①②，解得a=4，b=-6，
∴a-b=4+6=10，
故答案为：10．

点评：本题考查函数的导数的几何意义和极值点的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．