Question

17．设函数f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系解不等式即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=e^x-1+xe^x-x=（1+x）e^x-（x+1）=（1+x）（e^x-1），
由f′（x）＞0，得（1+x）（e^x-1）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{{e}^{x}-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1+x＜0}\\{{e}^{x}-1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
即x＞0或x＜-1，此时函数单调递增．
同理由f′（x）＜0得-1＜x＜0，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为（-∞，-1]，[0，+∞），单调递减区间为[-1，0]．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数单调性和导数之间的关系求函数的导数是解决本题的关键．