Question

已知：f（x）=lg（1+x）-x在[0，+∞）上是减函数，解关于x的不等式lg(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

＞lg2-1．

Answer 1

分析：由lg(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x =

f(

x- 1 x )

，lg2-1=f(1)，将原不等式转化为函数值的关系，应用函数单调性定义解决．

解答：解：由lg(1+

x- 1 x

)-

x- 1 x

＞lg2-1，得f(

x- 1 x

)＞f(1)．
∵f（x）=lg（1+x）-x在[0，+∞）上是减函数，∴

x- 1 x

＜1，
这等价于0≤x-

1

x

＜1，?

(x+1)(x-1) x ≥0 x2-x-1 x ＜0

，
解之得

-1≤x＜0或x≥1 x＜ 1- 5 2 或0＜x＜ 1+ 5 2

故不等式的解为[-1，

1- 5

2

)∪[1，

1+ 5

2

)．

点评：本题主要考查不等式的转化和单调性定义的应用，表现出单调性定义解决不等式中的优越性．