Question

17．已知命题p：函数f（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1）（x∈R）的图象在（-1，5）上恰有一个零点；命题q：函数g（x）=x^5-m在（0，+∞）上是减函数，如果p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，可得命题p为真时，m的取值范围；根据幂函数的图象和性质，可得命题q为真时，m的取值范围；由p或q为真，p且q为假，可得：p和q一真一假，分类讨论，可得满足条件的m的取值范围．

解答 解：2x²-2（2m+1）x-6m（m-1）=0得：x=3m，或x=1-m，
若函数f（x）=2x²-2（2m+1）x-6m（m-1）（x∈R）的图象在（-1，5）上恰有一个零点；
则$\left\{\begin{array}{l}3m∈（-1，5）\\ 1-m∉（-1，5）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}3m∉（-1，5）\\ 1-m∈（-1，5）\end{array}\right.$，或3m=1-m∈（-1，5），
解得：m∈（-4，-$\frac{1}{3}$]∪[$-\frac{5}{3}$，2）∪{$\frac{1}{4}$}
若函数g（x）=x^5-m在（0，+∞）上是减函数，
则5-m＜0，
解得：m∈（5，+∞），
如果p或q为真，p且q为假，
则p和q一真一假，
若p真q假，则m∈（-4，-$\frac{1}{3}$]∪[$-\frac{5}{3}$，2）∪{$\frac{1}{4}$}，
若p假q真，则不存在满足条件的m值，
故m的取值范围为：（-4，-$\frac{1}{3}$]∪[$-\frac{5}{3}$，2）∪{$\frac{1}{4}$}

点评 本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．