Question

（2012•昌平区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过点B（0，1），离心率为

2 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点P（0，2）的直线l与椭圆交于M，N两个不同的点，且使

PM

=

1

2

PN

成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆过点B（0，1），离心率为

2 2

3

，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据

PM

=

1

2

PN

，可得点M为PN的中点，再分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知b=1，

c

a

=

1-( b a )2

=

1- 1 a2

=

2 2

3

，解得a²=9
故椭圆M的方程为

x2

9

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）∵

PM

=

1

2

PN

，∴点M为PN的中点，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则 x₂=2x₁①…（5分）
（1）当直线的斜率k不存在时，M（0，1），N（0，-1），P（0，2），不符合条件，此时直线方程不存在．…（7分）
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+2
由

y=kx+2 x2 9 +y2=1

，消去y 得（9k²+1）x²+36kx+27=0
由△=（36k）²-4•（9k²+1）•27＞0，解得k2＞

1

3

（*）    …（9分）
x1+x2=-

36k

9k2+1

②，x1x2=

27

9k2+1

③
由①②③可得消去x₁，x₂，可得k2=

3

5

，故k=±

15

5

…（13分）
综上可知：存在这样直线l的方程为：y=±

15

5

x+2…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键．