Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²=a²+$\sqrt{3}$bc，acosB=bcosA
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理求出A，利用正弦定理将边化角得出A，B的关系求出B，利用内角和求出C；
（2）设CM=x，在△ACM中，利用余弦定理列方程解出CM，得出AC，BC，代入面积公式计算面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵b²+c²=a²+$\sqrt{3}$bc，∴b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$．
∵acosB=bcosA，∴sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，
∴A-B=0，∴B=A=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵A=B，∴BC=AC，
设CM=x，则AC=2x，又AM=$\sqrt{7}$，
在△ACM中，由余弦定理得：AM²=CM²+AC²-2CM$•AC•cos\frac{2π}{3}$，
∴7=x²+4x²-4x²•（-$\frac{1}{2}$），解得x=1．
∴AC=BC=2x=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC•BC•sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．