Question

9．已知函数f（x）是定义域在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数，对任意非零实数a，b满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）若f（3）=1，求f（x）+f（x-2）＞1的解集．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令a=b=1，和a=b=-1，即可求f（1），f（-1）的值；
（2）利用函数奇偶性的定义先判断函数的奇偶性，将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．

解答 解：（1）令a=b=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令a=b=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），
即2f（-1）=0，
∴f（-1）=0；
（2）令b=-1，
则f（-a）=f（a）+f（-1）=f（a），
即f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数，
若f（3）=1，
则f（x）+f（x-2）＞1等价为f（x）+f（x-2）＞f（3），
即f（x（x-2））＞f（3），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数且f（x）为偶函数，
∴不等式等价为f（|x（x-2）|）＞f（3），
即|x（x-2）|＞3，
即x（x-2）＞3或x（x-2）＜-3，
即x²-2x-3＞0或x²-2x-3＜-3，
即（x+1）（x-3）＞0或x（x-2）＜0，
即x＞3或x＜-1或0＜x＜2，
即不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1或0＜x＜2}．

点评 本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性的判断，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．