Question

【题目】对于函数，如果存在实数使得，那么称为的线性函数.

（1）下面给出两组函数，判断是否分别为的线性函数？并说明理由；

第一组：

第二组:：

（2）设，线性函数为.若等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）设，取.线性函数图像的最低点为.若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）第一组是，第二组不是，理由见解析；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）将三个函数的表达式代入，求出，的值；类似方法无法求出，的值；

（2）由已知得，从而在上有解，利用参变分离得，求出函数的值域，即为实数的取值范围，从而得到的取值范围；

（3）由题意得，，从而，，假设存在最大的常数，使恒成立，设，从而转化为求的最小值即可．

（1）第一组：

，

解得：，所以，

第一组函数是，的生成函数．

第二组：设，

即，

则，该方程组无解．

不是，的生成函数．

（2）；，，生成函数，

，

在上有解，

在上有解，

，，

。

实数的取值范围是．

（3）由题意得，，，则，

故，解得，，，

假设存在最大的常数，使恒成立．

于是设

，

设，又，则，即，

设，，

，，在上单调递减，从而．

故存在最大的常数．