题目内容
在棱长为3的正四面体ABCD中，点E是线段AB上一点，且AE=1，点F是线段AD上一点，且AF=2，则异面直线DE与CF的夹角的余弦为
．
| 1 |
| 14 |
| 1 |
| 14 |
分析：在AB上取一点M，使AM=
，由于
=
=
，可得MF∥ED，则∠CFM或其补角，即为异面直线DE与CF的夹角．利用余弦定理求得CF2、MF2、CM2 的值，再在△CFM中，利用余弦定理求得cos∠CFM 得值，再取绝对值，即得所求．
| 1 |
| 3 |
| AM |
| AE |
| AF |
| AD |
| 1 |
| 3 |
解答：
解：∵在棱长为3的正四面体ABCD中，点E是线段AB上一点，且AE=1，点F是线段AD上一点，且AF=2，
在AB上取一点M，使AM=
，如图所示：
由于
=
=
，∴MF∥ED，则∠CFM或其补角，即为异面直线DE与CF的夹角．
△CDF中，由余弦定理可得 CF2=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM2=9+
-2×3×
×cos60°=
，
△AMF中，由余弦定理可得 MF2=
+1-2×
×1×cos60°=
．
在△CFM中，由余弦定理可得CM2=
=7+
-2×
×
×cos∠CFM，解得cos∠CFM=-
，
故异面直线DE与CF的夹角的余弦为
，
故答案为
．
解：∵在棱长为3的正四面体ABCD中，点E是线段AB上一点，且AE=1，点F是线段AD上一点，且AF=2，在AB上取一点M，使AM=
| 1 |
| 3 |
由于
| AM |
| AE |
| AF |
| AD |
| 1 |
| 3 |
△CDF中，由余弦定理可得 CF2=9+4-2×3×2cos60°=7，△CAM中，由余弦定理可得 CM2=9+
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 73 |
| 9 |
△AMF中，由余弦定理可得 MF2=
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 9 |
在△CFM中，由余弦定理可得CM2=
| 73 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
| 7 |
|
| 1 |
| 14 |
故异面直线DE与CF的夹角的余弦为
| 1 |
| 14 |
故答案为
| 1 |
| 14 |
点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目