Question

已知点P是椭圆上一点，F₁F₂分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF₁F₂的内心，若S_△MPF1=λS_△MF1F2-S_△MPF2成立，则λ的值为（　　）

• A．

  α

  α2-b2

• B．

  2α

  α2-b2

• C．

  α2-b2

  α

• D．

  α2-b2

  2α

Answer 1

分析：根据三角形的内心到三边的距离相等，利用三角形的面积公式，将条件化简，结合椭圆的定义，即可求得结论．

解答：解：设△PF₁F₂的内切圆的半径为r
∵M为△PF₁F₂的内心，S_△MPF1=λS_△MF1F2-S_△MPF2，
∴

1

2

r|PF₁|=λ×

1

2

r|F₁F₂|-

1

2

r|PF₂|
∴|PF₁|=λ|F₁F₂|-|PF₂|
∴|PF₁|+|PF₂|=λ|F₁F₂|，
∵点P是椭圆上一点，F₁F₂分别为椭圆的左、右焦点
∴2a=λ×2

a2-b2

∴λ=

α

α2-b2

故选A．

点评：本题考查三角形内心的性质，考查三角形面积的计算，考查椭圆的定义，正确运用三角形内心的性质是关键．