Question

一动圆与圆x²+y²-2x=0外切,同时与y轴相切,动圆圆心的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)若过点A(4,0)的直线l与曲线C交于A、B两点,求证:以AB为直径的圆经过坐标原点.

Answer 1

(1)解:设动圆圆心为M(x,y)(x≠0),

则由题意,得=|x|+1,                                           

平方化简,得y²-2x=2|x|.                                                       ①

当x＞0时，由①得y²=4x;当x＜0时,由①得y=0.

故曲线C的方程为y²=4x(x＞0)和y=0(x＜0).                                 

〔另法提示:由题意可得动点M到点(1,0)的距离比到y轴的距离大1.若点M在y轴右侧,则点M到点(1,0)的距离等于点M到直线x=-1的距离,此时点M的轨迹为抛物线的一部分,方程为y²=4x(x＞0);若点M在y轴右侧,此时点M的轨迹为x轴的负半轴,方程为y=0(x＜0)〕

(2)证明:设l:x=my+4,代入y²=4x(x＞0)，

消去x，得y²-4my-16=0.                                                    

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则y₁y₂=-16,x₁x₂==16.

=x₁x₂+y₁y₂=16-16=0,

∴.

故以AB为直径的圆经过坐标原点.                                          

〔另法提示一：利用点斜式方程来证明，但必须验证斜率不存在的情形，否则扣1分；二：也可由k_OA·k_OB==-1来证明OA⊥OB〕。