Question

【题目】设抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，的面积为.

（1）求的方程；

（2）若，是上的两个动点，，试问：是否存在定点，使得？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）见解析.

【解析】

（1）把代入抛物线方程可得：，解得．根据的面积为列方程，解得，问题得解．

（2）假设存在定点S，使得．设，线段的中点为．由，可得，化为：．当轴时满足题意，因此点S必然在x轴上．设直线的方程为：．与抛物线方程联立可得：．根据根与系数的关系、中点坐标公式可得．可得线段的垂直平分线方程，问题得解．

解：（1）把代入抛物线方程，可得：，解得．

∵的面积为．

∴，解得．

∴E的方程为：．

（2）假设存在定点S，使得．

设，线段的中点为．

由抛物线定义可得：，

∵，

∴，整理得：．∴．

当轴时满足题意，因此点S必然在x轴上．

设直线的方程为：．

联立，化为：．

∴，

∴．

线段的垂直平分线方程为：，

令，可得：．

∴存在定点，使得．