Question

对于三次函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)，定义：设是函数y＝f(x)的导函数的导数，若有实数解x₀，则称点(x₀，f(x₀))为函数y＝f(x)的“拐点”．现已知f(x)＝x³－3x²＋2x－2，请解答下列问题：

(Ⅰ)求函数f(x)的“拐点”A的坐标；

(Ⅱ)求证f(x)的图象关于“拐点”A对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论(此结论不要求证明)；

(Ⅲ)若另一个三次函数G(x)的“拐点”为B(0，1)，且一次项系数为0，当x₁＞0，x₂＞0(x₁≠x₂)时，试比较与的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　1分 　　 　　令得　　2分 　　 　　拐点　　3分 　　(2)设是图象上任意一点， 　　则， 　　因为关于的对称点为， 　　把代入得 　　左边 　　右边 　　 　　右边＝右边 　　在图象上 　　关于A对称　　7分 　　结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心 　　②任何三次函数都有“拐点” 　　③任何三次函数都有“对称中心”(写出其中之一)　　9分 　　(3)设，则　　10分 　　，， 　　，，　　11分 　　法一： 　　 　　 　　 　　 　　 　　　　13分 　　当时， 　　当时，　　14分 　　法二：，当时，且时，， 　　在为凹函数，　　13分 　　当时，，在为凸函数 　　　　14分