Question

对于三次函数f(x)=x³-3x²-3mx+4(其中m为常数）存在极值，请回答下列问题.

（1）求f(x)的单调区间及极值；

（2）当f(x)的极大值为5时，求m的值；

（3）求曲线y=f(x)的切线中过原点的切线方程.

Answer 1

分析：对于（1）由f′(x)=0的根的情况以及f′(x)在相应区间上的符号来确定.对于（2）由(1)确定的极值点，通过解方程求m.（3）求曲线的切线方程时，要注意原点不是切点.

解：（1）f(x)=x³-3x²-3mx+4.

由f′(x)=3x²-6x-3m=0.

得3x²-6x-3m=0,Δ=36(m+1).

由于三次函数f(x)=x³-3x²-3mx+4有极值的条件是f′(x)=0必须有相异二实根.

∴当Δ≤0,

即m≤-1时，函数无极值.

当Δ＞0,

即m＞-1时，函数有极值.

设f′(x)=0相异实根分别为α、β,其中α=1-,β=1+(m＞-1),则x变化时，y′、y的变化情况如下表：

x	(-∞,α)	α	(α,β)	β	(β,+∞)
y′	+	0	-	0	+
y	↗	极大	↘	极小	↗

∴当x=1-m+1时,f(x)_极大值=f(α)

=(1-)³-3(1-)²-3m(1-)+4

=2(m+1)-3m+2.

当x=1+时,f(x)_极小值=f(β)

=(1+)³-3(1+)²-3m(1+)+4

=-2(m+1) -3m+2.

单调增区间为（-∞,1-）及(1+,+∞);

单调减区间为（1-,1+）.

（2）令2(m+1)-3m+2=5.

解得m=,

即m=时，y=f(x)取极大值5.

（3）设曲线过点（x₁,x₁³-3x₁²-3mx₁+4)的切线过原点，此时切线斜率为k=3x₁²-6x₁-3m,切线方程为y=3(x₁²-2x₁-m)(x-x₁)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4.

由于该切线过原点，

∴-3x₁(x₁²-2x₁-m)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4=0.

即2x₁³-3x₁²-4=0,

即(x₁-2)(2x₁²+x₁+2)=0.

∴x₁=2.代入切线方程得：y=-3mx.