Question

某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.

（1）若要求米，米，求与的值；

（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；

（3）若，求的最大值.

（参考公式：若，则）

Answer 1

（1），（2），（3）25.

【解析】

试题分析：（1）曲线为圆与抛物线的结合体，由恰好等于圆的半径得，，从而可得圆的方程，令，得，再根据得点进而解出.（2）为圆半径与OD之和，圆的半径为，关键求OD：因为，所以在中令，得，问题就转化为对恒成立，利用变量分离法可得恒成立，因为最小值10，所以，解得. （3）当时，，由圆的方程可得，从而，这要利用导数求其最值.

试题解析：（1）因为，解得. 2分

此时圆，令，得，

所以，将点代入中，

解得. 4分

（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，

则由题意知对恒成立， 8分

所以恒成立，而当，即时，取最小值10，

故，解得. 10分

（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，

从而， 12分

又因为，令，得， 14分

当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当 时，取最大值为25.

答：当米时，的最大值为25米. 16分

考点：函数解析式，不等式恒成立，利用导数求最值