题目内容
我们在下面的表格中填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其他空格．| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（2）试用n、q表示第二列的各数之和；
（3）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，若c1，c2，c3成等比数列，试求q的值；能否找到q的值，使得数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，c3，…，cm（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
分析：（1）按照规定的要求，依次填写即可．
（2）由（1）S=1+（1+q）+（1+q+q2）+…+（1+q+…+qn-1），各项利用等比数列的前n项和公式化简，再求和．
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2，c1，c2，c3成等比数列求出q=-
，c4=4+3q+2q2+q3得知c4=
，而
=
≠
，所以对于任意的m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比数列．
（2）由（1）S=1+（1+q）+（1+q+q2）+…+（1+q+…+qn-1），各项利用等比数列的前n项和公式化简，再求和．
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2，c1，c2，c3成等比数列求出q=-
| 1 |
| 2 |
| 23 |
| 8 |
| c4 |
| c3 |
| ||
|
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）如表…（3分）
（2）S=1+（1+q）+（1+q+q2）+…+（1+q+…+qn-1）
当q=1时，S=1+2+3+…+n=
当q≠1时，1+q+…+qn-1=
S=
=
-
所以综上可知Sn=
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2
由c22=c1c3⇒q=-
，则c1=1，c2=
，c3=
若m≥3时，c1，c2，c3，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列
由上可知此时q=-
，又 c4=4+3q+2q2+q3得知c4=
而
=
≠
，所以对于任意的m≥4，c1，c2，c3，…，cm一定不是等比数列
综上所述，当且仅当m=3且q=-
时，数列c1，c2，c3，…，cm是等比数列．
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | 1+q | 2+q | （n-1）q | |
| 第3行 | q2 | 1+q+q2 | |||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 | 1+q+…qn-1 |
当q=1时，S=1+2+3+…+n=
| n(n+1) |
| 2 |
当q≠1时，1+q+…+qn-1=
| 1-qn |
| 1-q |
S=
| n-(q1+q2+…+qn) |
| 1-q |
| n |
| 1-q |
| qn-qn+1 |
| (1-q)2 |
所以综上可知Sn=
|
（3）可知c1=1，c2=2+q，c3=3+2q+q2
由c22=c1c3⇒q=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
若m≥3时，c1，c2，c3，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列
由上可知此时q=-
| 1 |
| 2 |
| 23 |
| 8 |
而
| c4 |
| c3 |
| ||
|
| 3 |
| 2 |
综上所述，当且仅当m=3且q=-
| 1 |
| 2 |
点评：本题主要考查等比数列的定义、判断、数列求和．考查阅读、计算、分析解决问题的能力．
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21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为
的数列
依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第 |
第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
第2行 |
|
|
|
|
|
第3行 |
|
|
|
|
|
… | … |
|
|
|
|
第 |
|
|
|
|
|
列
行
(1) 设第2行的数依次为
，试用
表示
的值；
(2) 设第3列的数依次为
，求证：对于任意非零实数
，
；
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到
的值，使得(2) 中的数列
的前
项
(
) 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到
的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．