题目内容
21.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为
的数列
依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第 |
第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
第2行 |
|
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|
|
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第3行 |
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|
|
… | … |
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第 |
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|
(1) 设第2行的数依次为
，试用
表示
的值；
(2) 设第3列的数依次为
，求证：对于任意非零实数
，
；
(3) 请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）.
① 能否找到
的值，使得(2) 中的数列
的前
项
(
) 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由.
② 能否找到
的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.
[解] (1) ，
所以 
.
(2) 
，
，
，
由 
，
得 .
(3) ①先设成等比数列，由，得 ， .
此时 ，，
所以是一个公比为的等比数列.
如果，为等比数列，那么
一定是等比数列.
由上所述，此时
，
，
，
，… 由于
，
因此，对于任意
，
一定不是等比数列.
综上所述，当且仅当
且
时，数列
是等比数列
② 设
和
分别为第
列和第
列的前三项，
，
则
，
若第
列的前三项
是等比数列，则由
，得
，
， 
.
同理，若第
列的前三项
是等比数列，则
.
当
时，
.
所以，无论怎样的
，都不能同时找到两列数 (除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列.
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我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{an}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，Bn，试用n，q表示B1+B2+…+Bn的值；
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．
| 第1列 | 第2列 | 第3列 | … | 第n列 | |
| 第1行 | 1 | 1 | 1 | … | 1 |
| 第2行 | q | ||||
| 第3行 | q2 | ||||
| … | … | ||||
| 第n行 | qn-1 |
（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，cn的前m项c1，c2，…，cm （m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．