Question

10．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和CD上，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$，则当λ=$\frac{2}{3}$时，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$有最小值．

Answer 1

分析 由已知求得AB=BC=CD=2，再由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$），把$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$代入，展开后代入数量积公式求得答案．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=2，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$）=（$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$$+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+\frac{1}{9}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$
=$4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+\frac{1}{9λ}$×4×2$+\frac{1}{9}×2×2×cos120°$
=$\frac{34}{9}+2λ+\frac{8}{9λ}$$≥\frac{34}{9}+2\sqrt{2λ•\frac{8}{9λ}}=\frac{34}{9}+\frac{8}{3}=\frac{58}{9}$．
当且仅当2$λ=\frac{8}{9λ}$，即$λ=\frac{2}{3}$时上式等号成立．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．