题目内容

定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），令函数f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值．
∵F（x，y）=（1+x）y
∴f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））=2log2（x2-4x+9）=x2-4x+9，
故A（0，9），
又过坐标原点O向曲线C作切线，
切点为B（n，t）（n＞0），f′（x）=2x-4．
∴
t=n2-4n+9
t
n
=2n-4
，
解得B（3，6），
∴S=
∫30
(x2-4x+9-2x)dx=(
x3
3
-3x29x)
|30
=9．
练习册系列答案
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已知M是△ABC内的一点（不含边界），且
AB
•
AC
=2
3
，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为x，y，z．
（1）x+y+z=
 
；
（2）定义f（x，y，z）=
1
x
+
4
y
+
9
z
，则f（x，y，z）的最小值是
 
．
定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），令函数f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值．
定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函数g（x）=F（1，log2（x3+ax2+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0（-4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（2）当x，y∈N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．
定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f(x)=F(3，log2(2x-x2+4))，写出函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0（-4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（Ⅲ）当x，y∈N*且x＜y时，求证F（x，y）＞F（y，x）．
（2007•汕头二模）定义F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C2，若存在实数b使得曲线C2在x0（-4＜x0＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x，y∈N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

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