Question

4．若m∈[-1，4]，n∈[0，2]．
（1）求函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[1，4]上为单调函数的概率；
（2）在区间[0，5]内任取两个实数x，y，求事件：“x²+y²＞（m-n）²恒成立的概率．

Answer 1

分析 （1）结合二次函数的图象和性质，求出函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[1，4]上为单调函数的m的范围，代入几何概型概率公式，可得答案．
（2）求出在区间[0，5]内任取两个实数x，y对应区域的面积和满足事件“x²+y²＞16”的区域面积，代入几何概型概率公式，可得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-4mx+4n²的对称轴为直线x=2m，
则函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[1，4]上为单调函数，
则2m≤1，或2m≥4，
又∵m∈[-1，4]，
∴m∈[-1，$\frac{1}{2}$]∪[2，4]，
故函数f（x）=x²-4mx+4n²在区间[1，4]上为单调函数的概率P=$\frac{\frac{3}{2}+2}{5}$=$\frac{7}{10}$；
（2）∵m∈[-1，4]，n∈[0，2]．
∴当m=4，n=0时（m-n）²取最大值16，
在区间[0，5]内任取两个实数x，y，
若“x²+y²＞（m-n）²恒成立”，则“x²+y²＞16”，
在区间[0，5]内任取两个实数x，y，（x，y）对应的平面区域为边长为5的正方形，面积为25，
事件“x²+y²＞16”对应的平面区域是第一象限内，以原点为圆心，以4为半径的圆外的区域（包括边界），面积为：25-$\frac{1}{4}•π•{4}^{2}$=25-4π，
故事件：“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率P=$\frac{25-4π}{25}$

点评 本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．