Question

一束光线从点F₁（-1，0）出发，经直线l：2x-y+3=0上一点D反射后，恰好穿过点F₂（1，0），
（1）求以F₁、F₂为焦点且过点D的椭圆C的方程；
（2）从椭圆C上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点P、Q．求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，设并求出点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A的坐标，则由对称的意义，可得|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义变形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|，代入数据可得a的值，进而由题意可得c的值，计算可得b的值，即可得答案；
（2）先根据题意设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；分析可得直线AB方程为xx+yy=1，进而可以表示出P、Q的坐标，由两点间的距离公式，结合不等式，分析可得答案．
解答：解：（1）设点F₁关于直线l：2x-y+3=0的对称点A（m，n），
则，
解得，
则A（-，）
∵|PF₁|=|PA|，根据椭圆的定义，得2a=|PF₁|+|PF₂|=|AF₂|=，
∴，c=1，．
∴椭圆C的方程为．

（2）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，切线AM、BM方程分别为x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1，
∵切线AM、BM都经过点M（x，y），
∴x₁x+y₁y=1，x₂x+y₂y=1．
∴直线AB方程为xx+yy=1，
∴、，
，
当且仅当时，上式等号成立．
∴|PQ|的最小值为．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，是一道综合题目，解本类题目时，注意认真分析题意，结合有关的直线、圆的性质，进行分析计算，可以减小运算量．