Question

（1）解不等式

1

x-1

≤x-1
（2）求函数y=

2

x

+

9

1-2x

，x∈(0，

1

2

)的最小值．

Answer 1

分析：（1）解分式不等式先移项，使得不等式一侧为0，然后通分，化简，转化成等价不等式进行求解即可；
（2）将y=

4

2x

+

9

1-2x

转化成y=(

4

2x

+

9

1-2x

)(2x+1-2x)，然后展开，利用基本不等式进行求解即可求出函数的最小值．

解答：解：（1）∵

1

x-1

≤x-1，
∴(x-1)-

1

x-1

=

(x-1)2-1

x-1

=

x(x-2)

x-1

≥0，
等价于

x(x-1)(x-2)≥0 x-1≠0

，解得x≥2或0≤x＜1，
∴此不等式的解集为{x|x≥2或0≤x＜1}；
（2）∵y=

4

2x

+

9

1-2x

=(

4

2x

+

9

1-2x

)(2x+1-2x)=13+

9×2x

1-2x

+

4×(1-2x)

2x

≥25，
当且仅当x=

1

5

等号成立，
∴函数y=

2

x

+

9

1-2x

，x∈(0，

1

2

)的最小值25．

点评：本题主要考查不等式的解法以及基本不等式的应用，应用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”的要求，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．