Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式f(x+3)+f(

1

x

)≤2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1⇒f（1）=0；
（2）依题意，可求得f（

1

x

）=-f（x），于是f（x+3）-f（

1

x

）＜2?f（x+3）+f（x）＜2?f（x+3）-1＜1-f（x），利用已知f（6）=1与f（

x

y

）=f（x）-f（y），可得f（

x+3

6

）＜f（

6

x

），
最后由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，即可求得原不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=0；
（2）∵f（

1

x

）=f（1）-f（x）=-f（x），
∴原不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2?f（x+3）+f（x）＜2，
∴f（x+3）-1＜1-f（x），又f（6）=1，
∴f（x+3）-f（6）＜f（6）-f（x）
即f（

x+3

6

）＜f（

6

x

），
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
则0＜

x+3

6

＜

6

x

，
解得：0＜x＜

-3+3 17

2

．
∴原不等式的解集为{x|0＜x＜

-3+3 17

2

}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，求得f（

1

x

）=-f（x）是关键，着重考查转化思想与函数单调性的综合应用，属于难题．